ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ
2.1. Методи розв'язування нелінійних рівнянь
Розв'язування нелінійних рівнянь і систем є не тільки важливою самостійною задачею, але і частиною інших задач обчислювальної математики, наприклад, розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь або знаходження власних значень матриць. З ними пов'язана побудова різноманітних моделей пристроїв і систем автоматики та інформаційно-вимірювальної техніки.
Трансцендентними називаються нелінійні рівняння, що містять тригонометричні або інші нелінійні функції, наприклад, логарифмічну або експоненціальну.
Існує ряд методів чисельного розв'язування трансцендентних рівнянь, доцільність використання кожного з яких визначається виглядом рівняння, його порядком, необхідною точністю.
2.2. Методи бісекції розв'язку трансцендентних рівнянь.
2.2.1. Метод половинного ділення.
В цьому методі спочатку обчислюються значення функції в точках, розміщених через рівні інтервали на осі x. Коли EMBED Equation.2 і EMBED Equation.2 мають протилежні знаки, то знаходять
EMBED Equation.2 та EMBED Equation.2
Якщо знак EMBED Equation.2 співпадає із знаком EMBED Equation.2 , то в дальшому замість EMBED Equation.2 використовується EMBED Equation.2 . Якщо ж EMBED Equation.2 має знак, протилежний знаку EMBED Equation.2 , тобто співпадає зі знаком EMBED Equation.2 , то на EMBED Equation.2 заміняється це значення.
Якщо EMBED Equation.2 достатньо близьке до 0, то процес обчислення закінчується.
Як умову припинення ітераційного процесу часто найбільш доцільно використовувати умову:
EMBED Equation.2 (1)
де EMBED Equation.2 - задана похибка знаходження кореня.
Даний метод має малу швидкість збіжності. У порівнянні з початково знайденим інтервалом, в якому знаходиться корінь, його ширина після N ітерацій зменшується в 2N раз:
EMBED Equation.2 (2)
Похибка знайденого рішення знаходиться в межах
EMBED Equation.2 (3)
Ефективність даного методу:
EMBED Equation.2 (4)
де n - кількість обчислень функції.
2.2.2. Метод золотого перерізу
Алгоритм даного методу подібний до методу половинного ділен-ня, тільки поділ відрізка здійснюється виходячи із співвідношення золотого січення:
EMBED Equation.2 (5)
Ефективність даного методу є більшою, ніж методу половинного ділення і оцінюється співвідношенням:
EMBED Equation.2 (6)
2.3. Метод хорд
В основі цього методу лежить лінійна інтерполяція по двох значеннях функції, які мають протилежні знаки. При пошуку кореня метод забезпечує більшу збіжність, ніж попередні. Структура алгоритму представлена на рис.2. Визначаються значення функції в точках, розміщених на осі x через рівні інтервали. Це здійснюється до цього часу, поки EMBED Equation.2 і EMBED Equation.2 не будуть мати різних знаків.
Пряма, проведена через ці дві точки, перетинає вісь x при значенні:
EMBED Equation.2 (7)
Далі визначають EMBED Equation.2 і порівнюють його з EMBED Equation.2 і EMBED Equation.2 . В подальшому користуються EMBED Equation.2 замість того значення, з яким воно співпадає по знаку. Якщо EMBED Equation.2 дуже відрізняється від 0, то вся процедура повторюється спочатку.
При EMBED Equation.2 можна вважати, що EMBED Equation.2 . Це справедливо при вузькому інтервалі і коли похідна змінюється плавно (менше ніж у два рази).
Похибка розв'язку оцінюється по формулі:
EMBED Equation.2 (8)
де M1 і m1 - відповідно найбільше і найменше значення модуля похідної на відрізку EMBED Equation.2 .
2.4. Метод Ньютона (дотичних)
Метод Ньютона дуже широко використовується при побудові ітераційних алгоритмів. Його популярність пояснюється тим, що, на відміну від двох попередніх методів, для визначення інтервалу, в якому знаходиться корінь, не потрібно знаходити зна...
